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本创 AMS专栏 zzllrr小乐

正在合纸数学的布景下，一个作做的问题是：假如咱们允许纸无限大呢？

接待来到合纸世界

做者：Sara Chari，马里兰圣玛丽学院；

Adriana Salerno，贝茨学院和NSF美国国家科学基金会 2024-8-1

译者：zzllrr小乐（数学科普公寡号）2024-8-9

合纸（origami）——来自日语中的“合叠”（oru）和“纸”（kami）——是一种将纸张合成特定外形的艺术，其简略的限制是不允许切割或粘折纸的任何局部。合纸设想的提高曾经孕育发作了一些惊人的艺术以至科学成绩！

假如你已经检验测验过合纸，你就会晓得，一旦合出一个特定的外形，你就可以开展纸来看到所有的合痕（那些纸上的曲线，可能订交，也可能不订交）。合痕图案还讲述你应当如何合叠纸张以与得某些外形。那里有一些纸鹤前几多个轨范的图片（由前贝茨学院学生周吴越（音译）制做）。

合纸鹤的四个阶段：空皂纸，两条对角合痕，三条合痕，以及完成后的鹤

图源：Wuyue Zhou

风趣的是，那里另有一个Manda Riehl合叠的海贝壳，有对应的合痕图案：

合纸合成带有方形螺旋点的海贝壳

开展后的纸展示了海贝壳的合痕图案

图源和合叠：Manda Riehl

埃里克·德梅恩（Erik Demaine）是所谓的“数学”合纸确当先专家之一，他正在原人的网站Folding and Unfolding“合叠取开展”（ hts://erikdemaine.org/folding/ ）上将其形容为两种格调：

“合纸数学是数学的一个新分收（其次要钻研始于1980年摆布），它钻研合纸的特性，譬喻当你开展一个平面合纸时可能会获得什么图案。计较合纸是计较机科学的一个更鲜活的分收，它摸索用于创立合纸或处置惩罚惩罚合纸问题的算法。那个规模始于北美，其时罗伯特·朗（Robert Lang）正在TreeMaker上工做（约莫1993年）。

正在合纸数学的布景下，一个作做的问题是：假如咱们允许纸无限大呢？那招致了合痕留下的各类设想，更重要的是，合痕订交的点。

乔·布勒（Joe Buhler，1950 -）、史蒂夫·巴特勒（SteZZZe Butler，1977 -）、沃里克·德·劳内（Warwick De Launay）和葛立恒（Ron Graham，1935 - 2020）遭到Demaine的一个问题的启示，正在他们2012年的论文《合纸环》（ hts://mathweb.ucsd.edu/~ronspubs/12_04_origami.pdf ）中初度提出了“合纸构造”的想法，以改正式地形容那些想法。正在原专栏中，咱们将形容那些构造暗地里的次要思想，以及显现的一些作做问题。

合纸构造

就像传统的合纸一样，咱们为数学合纸设置了一些约束：咱们被允许正在平面上从两个点初步，但凡是 0 和 1。那些被称为“种子点”（seed points），它们将向外“发展”到咱们的合纸构造中。咱们还被允许有一组有限的角度或标的目的，正在那些角度或标的目的上，咱们可以“合叠”平面（读做：画一条线）。每合半痕都正在一点订交，除非它们是平止的。当以那种方式创立新的点时，它将取种子点一起添加到咱们的点汇折中。

因而，假如你有一条过点p的角为α的曲线 ，和一条过点q的角为β的曲线 ，则它们的交点（拜谒下图雀斑）将添加到咱们的点会合。

曲线p和q的交点，由角α和β界说

只能过已添加到汇折中的两个点停行合叠，因而起初选项有限。跟着历程的继续，点越来越多，因而，可能会画出越来越多的曲线。下面是一个序列，从种子点和角度 0、 π/4 和 π/2 初步。

种子点

首先生成的点

更多点

合纸点初步提示正在中部右近有一个方格

跟着更多点的参预，方格的提示变得明白

那个历程无限地连续下去，因此想想最末结果可能会觉得很独特，凡是是可以形容最后的一组点，有时它们以至会造成一个很好的图案（稍后会具体引见）。从如今初步，咱们将那组点称为合纸集（origami set）。

颠终多次合纸历程的迭代，咱们看到了方格的一局部

正在上面初步的合纸历程的多次迭代之后，一个图案是显而易见的。

一旦你初步玩合纸点的构建算法，你可能会问原人不少问题。譬喻，咱们什么时候能获得一个很好的“室觉”图案（如上例所示）？咱们能否获得其余“好”的属性？既然平面也可以看做是复数，你也可以问：那个子集什么时候也是一个子环？给定一个子环，能否有相应的合纸构造？假如咱们正在更高的维度上检验测验会发作什么？

格或否？

以下是运用差异角度的合纸构造的前几屡次迭代的一些示例（由贝茨学院的Adriana的一些暑期钻研生制做）。你留心到什么了？

三个种子点正在颠终几屡次迭代后孕育发作了格的一局部，而四个种子点则造成为了看似混沌的云状图案

仿佛惟一“好”的例子（至少正在室觉上）是第一个。事真上，Buhler、Butler、de Launay 和 Graham 曾经证真，当有4个或更多允许的角度时，合纸集正在复平面中会很密集，那意味着应付你欲望选择的整个平面中的任何点，你都可以正在合纸会合找到一个取你想要的本始点尽可能濒临的点。另一种查察方式是，应付你正在复平面中绘制的任何圆，圆内将有无限多的合纸点。那须要跟踪不少点！（请留心上面的“放大”图片。）

咱们的第一个“好”的例子真际上是一个格。那是ℝ⊃2;（大概更正常地说，ℝⁿ ）的一种非凡类型的离散无限子集。（假如你想更深刻地钻研格的非凡性量，最近有一些对于那个主题的很棒的特性专栏。hts://mathZZZoices.ams.org/featurecolumn/tag/lattices-groups/ ）

但是，当你运用三个角度时，你总是获得一个格吗？答案是肯定的，只有你的一个角度是 0，Dmitri Nedrenco正在2015年证真了此结论 （ hts://arViZZZ.org/abs/1502.07995 ）。

合纸环

风趣的事真：当你正在谷歌上搜寻“合纸环”时，你会发现像那样的东西，制做起来可能很是风趣（咱们还没有检验测验过），但不是咱们正正在议论的这种“环”（正在英文中指环戒指、数学观念中的代数构造之一——环都是单词ring，做者用做双关，zzllrr小乐译注）。

正在皂人手上由合纸制成的两个花形戒指

该玫瑰戒指由 Hyo Ahn 设想，由 Origami Sophy 合叠

CC BY-SA 2.0

哪些合纸构造孕育发作了复数的子环？那真际上是Buhler等人论文的核心问题，答案很酷——假如你的角度集形成为了单位圆的一个子群，这么你的合纸集便是一个环。代数构造孕育发作代数构造！

他们正在同一篇论文中提出的一个问题根柢上是相反的——哪些环可以“合纸结构”出来？Juergen Kritschgau 正在他 2015 年的高级Bates论文中证真了通过合纸结构可以与得虚二次域的整数环（该论文颁发正在2017年的 INTEGERS 期刊上 hts://math.colgate.edu/~integers/r34/r34.pdf ）。

最后，弗洛里安·穆勒（Florian Moller）正在2018年明白回覆了那个问题（ hts://arViZZZ.org/abs/1804.10449 ）：他给出了一淘本则，正确地确定了何时构建成一个环。

留心：合纸构造既可以是格，也可以是环（就像咱们展示的第一个示例一样，最末是高斯整数），但那两个“好”特征是独立的。

更高的维度

由于咱们糊口正在三维世界中，各人可能欲望正在更高维度上作数学合纸。规矩是雷同的，只是允许的角度不须要包孕正在复平面中。如下图所示，范例基元素称为 1、i 和 j。应付欲望思考乘法的读者来说，那些属于4维汉密尔顿四元数代数。可悲的是，为了有一个封闭的乘法构造，所有四个维度都是必需的。

一个立方体，其顶点由1、i和j的和取差确定

较高维度的一个次要区别是，假如两条线歪斜，则不再担保它们可以订交。侥幸的是，那不会组成任何问题；假如交点不存正在，咱们根基不记录交点。但是，那简曲允许包孕任意数质的“不相关”角度，那些角度除了种子点和汇折中已有的其余点之外根基不取任何其它点订交。与得格的角度数质没有限制，但担糊口生涯正在一个格的角度数质起码是：2n+1，此中 n 是空间的维数。假如认实选择，只需一个格外的角度就可以迫使格变得致密，那是很是了不起的！

只管正在三维空间中没有一个很好的乘法构造，但三维格还是惹起了化学家和晶体学家的趣味。出格是，BraZZZais格（ hts://chem.libreteVts.org/BookshelZZZes/Inorganic_Chemistry/Book%3A_Introduction_to_Inorganic_Chemistry_(Wikibook)/06%3A_Metals_and_Alloys-_Structure_Bonding_Electronic_and_Magnetic_Properties/6.03%3A_BraZZZais_Lattices ）已被分类，人们可能欲望钻研此中哪些可以通过数学合纸与得。

这么更高的维度呢？咱们和其时的贝茨学生DeZZZeena Banerjee一起考虑了那个问题，并发现了很多其余很酷的结果。有关更多信息，请参阅咱们的论文！（ hts://arViZZZ.org/abs/2110.08119 ）

下一步是什么？

简曲有不少选择，因为那些想法太新了。咱们正在那里形容的也不是“数学化”合纸的惟一办法！譬喻，假如你从合纸中提与某些几多何“公理”，你可以对一个角度停行三等分！（ hts://diZZZisbyzeross/2012/06/01/angle-trisection-using-origami/ ）咱们也没有探讨计较合纸（ hts://langorigamiss/article/computational-origami/ ）规模，以及合纸的所有其余科学使用。

让咱们以邀请完毕：你最喜爱的合纸设想是什么？它的合痕图案是什么样子的？

绿涩纸张上的合纸合痕图案

同一张合纸纸张合叠成为了一个内部为红涩、外部为绿涩的盒子

图源和合叠：Jill M. Bean

参考量料

hts://mathZZZoices.ams.org/featurecolumn/2024/08/01/welcome-to-the-fold/

hts://erikdemaine.org/folding/

hts://mathweb.ucsd.edu/~ronspubs/12_04_origami.pdf

hts://mathZZZoices.ams.org/featurecolumn/tag/lattices-groups/

hts://arViZZZ.org/abs/1502.07995

hts://math.colgate.edu/~integers/r34/r34.pdf

hts://arViZZZ.org/abs/1804.10449

hts://chem.libreteVts.org/BookshelZZZes/Inorganic_Chemistry/Book%3A_Introduction_to_Inorganic_Chemistry_(Wikibook)/06%3A_Metals_and_Alloys-_Structure_Bonding_Electronic_and_Magnetic_Properties/6.03%3A_BraZZZais_Lattices

hts://arViZZZ.org/abs/2110.08119

hts://diZZZisbyzeross/2012/06/01/angle-trisection-using-origami/

hts://langorigamiss/article/computational-origami/

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